¿QUÉ ES Y PARA QUE SIRVE UNA DERIVADA?

Cuando me enseñaban por primera vez a utilizar las derivadas pregunté al profesor para qué sirve una derivada; me contestó: « ya lo aprenderás más adelante! »

Siempre recordaré aquella respuesta idiota.

Hace unos días estaba dando una formación a 20 profesores sobre el método del « aprendizaje experiencial”. El método da importancia a la experiencia de la persona que aprende, a su sentir, a su imaginar, a su observación, para que desde ahí pueda acceder al pensamiento y a la abstracción.

Recordando la pregunta que le hice a aquel profesor, les hice la misma a ellos: ¿Podéis decirme qué es y para qué sirve una derivada? Solo una profesora supo responderme.

Una de las profesoras presentes en el curso, un momento antes, había insinuado que ahora se devaluaba la adquisición de conocimientos en favor de un enfoque que llamaba ·”psicologizante”. Lo gracioso es que la misma persona no sabía qué era una derivada y sin embargo había hecho cientos de derivadas, aprobado el bachiller, la selectividad y al menos 3 años de estudios en los que ha tenido formación en física, matemáticas y tecnología. Luego el problema no es de ahora.

No se daba cuenta que los reproches que hacía al enfoque “psicologizante” (que no se cual es) no era sino la expresión de sus propias limitaciones: La formación que ha recibido es una formación que no penetra en el conocimiento porque no ayuda a comprender los fundamentos de los conceptos. Es una formación de “papagayo” la que ha recibido y la que reproduce. El problema es que ahora ese método que utiliza ya no mantiene la atención del alumnado y se revela ineficaz y a través de ello muestra su propia ineficacia.

 Como se que hay muchas personas que no han entendido lo que es una derivada aunque hayan hecho muchas, voy a utilizar este hecho para justificar mi argumentación posterior sobre una propuesta pedagógica.

Voy primero a explicar qué es y para qué sirve una derivada. Al lector de juzgar si mi explicación les ha ayudado a comprender que es una derivada y para que sirve y si mi propuesta pedagógica le convence.

 1º IMAGINA: tienes que trasladar un carro por estas escaleras hacia arriba (figura 1)

 

Dispones de unos tablones que irás poniendo de peldaño a peldaño (Figura 2) para poder desplazar tu carro

Fijate en ellos, observa la figura 2 ¿Qué constatas con relación a su inclinación?

Tendrás que hacer mucho esfuerzo al inicio para desplazar tu carro y menos al final en el último tramo. La pendiente, aunque subas todo el tiempo, es más elevada al inicio que al final.

Si establecemos el ángulo entre el tablero y la horizontal (Figura 3), vemos que el ángulo se va reduciendo a medida que vamos avanzando a lo largo de los tablones. Se dice que el coeficiente director de la pendiente va reduciéndose.

Por ejemplo, en el punto 6, o 7, o 8, y 9 (el tablero azul) tenemos una pendiente con un coeficiente director de ¼ ya que tiene que recorrer 4 unidades de medida (la profundidad de la escalera) para subir 1 unidad en el punto 10 (altura de la escalera) . La pendiente es la división de lo que ha subido (1 punto) sobre lo que ha avanzado (4 unidades), es decir la pendiente es de 1/4= 0,25 (es lo que se llama el coeficiente director de la recta). La pendiente del tablero amarillo, es de 0,2, ya que hay que recorrer 5 para subir 1. Si, por ejemplo en este mismo punto, en lugar de una unidad se subiese 10 unidades ¿Cuál sería la pendiente en este caso?

 La pendiente en ese caso sería de 10/5= 2.

 

 Eso que acabamos de explicar es la clave de la derivada. Así de sencillo.

La derivada nos muestra la evolución de la inclinación de los tablones a lo largo del trayecto.

Así que la derivada tiene que ver con los cambios de los coeficientes directores o los ángulos de los tablones con relación a la horizontal. En el ejemplo los coeficientes son positivos hasta el punto 21, a partir del punto 21 el coeficiente director es 0 ya que el tablón está paralelo al suelo, si a partir de ahí se fuese avanzando y las escaleras fuesen bajando, en lugar de subir, el coeficiente director sería negativo. Si fuese bajando de modo simétrico al que ha ido subiendo encontraríamos los mismos indices angulares pero negativos.

 La derivada muestra la evolución de la pendiente, en cada punto de los tablones, a lo largo de la curva. ¿Lo habéis entendido?

Así que si remplazamos todos esos tablones por una solo tablero flexible que se posiciona sobre la escalera, podríamos decir que es una subida continua ya que la rueda de mi carro no siente ningún tipo de discontinuidad a lo largo del trayecto (no hay rupturas entre tablones) y escribiríamos una función continua f(x) que nos indicaría por cada punto que avanzamos en que punto de la altura nos encontramos. Mientras que la derivada sería una función f'(x) derivada de la anterior función que ya no nos da la altura sino que nos dice de cuánto cambia aquella función primitiva y la pendiente que tiene en cada punto del tablero flexible.

 Los matemáticos dicen que la derivada es la función f'(x) que da la tangente en cada punto de la curva f(x). De todo esto lo importante es que lleguemos a imaginar y a visualizar con algún ejemplo como la derivada mide las evoluciones y los cambios de una variable (en el ejemplo, la altura de la escalera del dibujo) con relación a otra (la profundidad de la escalera del dibujo).

Ahora vamos a imaginar otras funciones en las que hay una derivada. ¿Se os ocurre alguna? Por ejemplo el incremento de peso que he ido cogiendo en función de los años. ¿Qué me dará la derivada? Eso ya lo podéis responder: la evolución de ese incremento de peso que no es otra cosa la evolución del ángulo de los tablones sobre la horizontal.

 ¿Para qué sirve entonces la derivada? La derivada permite ver, a través de la pendiente en todo punto de la curva, la evolución o el cambio de muchos fenómenos físicos. Permite calcular los puntos clave ahí donde la pendiente es 0 (máximos y mínimos) para buscar los óptimos por ejemplo. Permite hacer otros muchos cálculos asociados a este hecho de la pendiente de la tangente en cada punto de la curva. En física, electricidad, electrónica, en química, permite estudiar muchos fenómenos evolutivos asociados como la velocidad, la aceleración, los flujos, las acumulaciones. Las derivadas están siempre presentes. Se utiliza en economía, se utiliza en gestión, se utiliza en arquitectura. Los sistemas de cálculo de frenado y de automatización utilizan derivadas, los sistemas y las máquinas automatizadas para fabricar o para controlar utilizan derivadas. Por ejemplo, los sistemas que controlan la parada de vuestro ascensor para que ésta sea suave, se controla el “jerk” que es la derivada de la aceleración con relación al tiempo.

Fermat fue el primero en establecer, el uso de la derivada, aplicándola al estudio de puntos máximos y mínimos de una curva, pero fue Newton en 1669 quien la integró en un sistema matemático que es una genialidad y que se llama el Cálculo integral y diferencial y que se puede decir es la base matemática de la ciencia clásica. La relación entre la derivada y su primitiva (aquella curva de la que se puede derivar) funda el estudio de las diferenciales que sirven por ejemplo para cálculos de fenómenos de acumulación, reducción y dispersión. El estudio de la cantidad de carbono 14 en un hueso permite, por ejemplo, a través de una diferencial, llegar a calcular su edad.

Un ejemplo que de una aplicación de la derivada y que es más fácil de visualizar que los clásicos sobre el movimiento, las velocidades y las aceleraciones que se suelen utilizar habitualmente en clase: tenemos que construir una tubo o pista de skateboard de 20 metros de distancia entre los dos extremos superiores y de 2,5 metros de altura (figura 4). Se debe construir en un parque donde hay una piedra que tiene una inclinación de 16,7 º, es decir una tangente de 0,3 de coeficiente director (recordar lo de los tablones: 0,3= 3/10, es decir en 10 metros de recorrido sube 3 metros).

 

Hay que aprovechar esa piedra para utilizar el menor cemento posible. Se trate entonces de ver que punto de la piedra y que punto de la pista van a coincidir para construir el tubo para el skateboard utilizando el mínimo material (ver figura 4). Así que sin entrar en explicaciones de como se realiza la derivada de una función, aceptamos que la función de la pista es  f(x)= 1/40 *x² y su derivada  f'(x)=1/20*x .

Sabemos dos cosas. Sabemos que la pendiente de la piedra es 0,3 y sabemos que si hay un punto en la curva que tenga 0,3 de pendiente, podemos saber cual es. Ese es el punto que debe tocar la pierda. Y eso es fácil. De manera que buscamos el punto 0,3 en la derivada: 0,3=1/20*x; x=6; es decir 6 metros con relación al centro (el punto cero de la curva). Por otro lado sabemos que en ese punto la altura del tubo para el skateboard es de 0,9 metros, ya que en la función principal: f(x)= 1/40 *x² =1/40 *(6)²= 0,9; así pues, es en el punto de altura de la piedra que hace 0,9 m es donde se encuentran la piedra y la parte del tubo para utilizar la menor cantidad de cemento y que nos permite establecer las distancias para iniciar los trabajos.

Si tuviésemos que calcular la cantidad de cemento necesario para fabricar el tubo del stakeboard sería muy fácil conociendo la longitud y utilizando la función primitiva f(x)= 1/40 *x² como si fuese la derivada de otra función. Lo cual nos permitiría encontrar el área y multiplicarlo por la longitud para hallar el volumen. Las relaciones que se establecen entre una función y su derivada son múltiples y han sido la base para la construcción de las ciencias. Es algo que parece magia y cuando se enseña magia a un chaval… se aviva el interés por aprender.

 Bueno, no se si con estas explicaciones hemos visto un poco mejor lo qué es y para qué sirve una derivada. En todo caso nadie puede entender bien una derivada o una integral o cualquier otro concepto fundador del conocimiento si no es capaz de sentirlo, observarlo, imaginarlo. Mis explicaciones han buscado VISUALIZAR el concepto.

 Y esta es el punto al que quiero llegar. No es lo mismo adquirir “conocimientos” que comprender los fundamentos de las matemáticas, de la física, de la estadística, de la sociología. Para poderlo comprender, el alumnado debería ser capaz de imaginar el concepto con imágenes simples, cotidianas, suyas y poder él mismo explicarlo así al resto de la clase. Es mejor pasar tiempo visualizando el concepto base de cualquier ciencia, hasta que todo el alumnado pueda “a su manera”y desde su experiencia imaginar en que consiste, aunque no se cumpla el programa escolar, que memorizar fórmulas, de derivación en este caso, que no van a servir para nada por varias razones: no se sabe para qué y en qué casos aplicar; haciendo derivadas sin saber bien para qué se pierde el sentido del aprendizaje y el gusto por aprender; un aprendizaje sin engarce con la realidad, sin movilizar el sentir, o la emoción se olvida.

El problema es el temario, el programa, a todo precio hay que darlo si se quiere que nuestro alumnado apruebe pruebas y exámenes (la maldita selectividad por ejemplo), o simplemente hay que cumplir con el temario si no se quiere tener el sentimiento de no haber cumplido con el deber.

Los suizos cuando inician una asignatura parece que están perdiendo el tiempo. Miran “la cosa” bajo todos sus aspectos. Formalizan, matizan. Para nuestra mentalidad mediterránea, parece un curso para retrasados mentales. Luego nos sorprende la velocidad de crucero que cogen.

El profesorado y el mundo educativo debe comprender de una vez por todas como decía Piaget (creo que era él) que “el problema que el alumno resuelve no es el que el profesor plantea sino aquel que él se imagina”. Y si se quiere que el alumnado aprenda hay que pasar tiempo para que cada alumno y alumna imagine, sienta, comprenda los elementos básicos que constituyen la piedra angular del conocimiento de cada asignatura.